按月归档:六月 2014

SymPy Tutorial

SymPy Tutorial

翻译自:SymPy Tutorial,其实有人译过了,但我看着不爽……你看我的不爽可以参考他的SymPy简明教程

目录

引言

SymPy是一个符号数学Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统,同时保持代码的精简而易于理解和课扩展。SymPy完全由Python写成,不需要任何外部库。

这个教程概述和简介SymPy。阅读它能让你知道SymPy可以为你做什么。如果你想了解更多,阅读SymPy用户指南SymPy模块参考。或者直接阅读源码

SymPy第一步

下载它最简单的方法是去http://code.google.com/p/sympy/从“推荐下载”下载最新的压缩包。1 downloads

解压:

tar xzf sympy-0.7.1.tar.gz  

然后用Python解释器尝试它:

[lyy@arch ~]cd sympy-0.7.1 [lyy@arch ~]$ python2 Python 2.7.3 (default, Apr 24 2012, 00:00:54)  [GCC 4.7.0 20120414 (prerelease)] on linux2 Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information. >>> from sympy import Symbol, cos >>> x = Symbol('x') >>> (1/cos(x)).series(x, 0, 10) 1 + x**2/2 + 5*x**4/24 + 61*x**6/720 + 277*x**8/8064 + O(x**10)  

你可以如上展示使用SymPy。如果你在你的程序中使用它的话,这确实是推荐的方法。你也可以用./setup.py install像所有其它Python模块一样安装它,或者仅仅在你心爱的发行版中安装相应的包,等等。

在archlinux中安装SymPy

[lyy@arch ~]$ sudo pacman -S python2-sympy 警告:python2-sympy-0.7.1-4 已经为最新 -- 重新安装 正在解决依赖关系... 正在查找内部冲突...  目标 (1): python2-sympy-0.7.1-4  全部安装大小:25.12 MiB 净更新大小:0.00 MiB  进行安装吗? [Y/n]  (1/1) 正在检查软件包完整性      [###############################] 100% (1/1) 正在加载软件包文件        [###############################] 100% (1/1) 正在检查文件冲突          [###############################] 100% (1/1) 正在检查可用硬盘空间      [###############################] 100% (1/1) 正在更新 python2-sympy  

其它安装SymPy的方法,查阅SymPy主页上的下载标签。

isympy控制台

为了试验新功能,或当搞清楚如何做事时,你可以使用我们对IPython的特殊封装isympy(它位于/bin/isympy中,如果你正在从源码文件夹运行的话),它仅仅是一个已经导入相关sympy模块的标准python shell,定义了符号x,y,z和一些其它东西:

[lyy@arch ~]$ cd sympy  [lyy@arch ~]$ ./bin/isympy  IPython console for SymPy 0.7.1 (Python 2.7.3-64-bit) (ground types: python)  These commands were executed: >>> from __future__ import division >>> from sympy import * >>> x, y, z, t = symbols('x y z t') >>> k, m, n = symbols('k m n', integer=True) >>> f, g, h = symbols('f g h', cls=Function)  Documentation can be found at http://www.sympy.org  In [1]: (1/cos(x)).series(x, 0, 10) Out[1]:       2      4       6        8                x    5⋅x    61⋅x    277⋅x             1 + ── + ──── + ───── + ────── + O(x**10)     2     24     720     8064    

用SymPy做计算器

SymPy有三种内建的数值类型:浮点数、有理数和整数。

有理数类用一对整数表示一个有理数:分子和分母,所以Rational(1,2)代表1/2,Rational(5,2)代表5/2等等。

>>> from sympy import * >>> a = Rational(1,2)  >>> a 1/2  >>> a*2 1  >>> Rational(2)**50/Rational(10)**50 1/88817841970012523233890533447265625  

当计算整型数据时小心处理,因为他们会截取整数部分。这就是为何:

>>> 1/2 0  >>> 1.0/2 0.5  

然而你可以这样做

>>> from __future__ import division  >>> 1/2  0.5  

真正的除法将要成为python3k的标准,isympy中也是。

我们也有些特殊的常数,像e和pi,它们被视为符号(1+pi将不被数值求解,它将保持为1+pi),并且我们可以有任意精度:

>>> pi**2 pi**2  >>> pi.evalf() 3.14159265358979  >>> (pi+exp(1)).evalf() 5.85987448204884  

就像你看到的,evalf将表达式求解为浮点数。

这还有一个类表示数学上的无限,叫作oo

>>> oo > 99999 True >>> oo + 1 oo  

符号

和其它计算机代数系统相比,在SymPy中你不得不显式地声明符号变量:

>>> from sympy import * >>> x = Symbol('x') >>> y = Symbol('y')  

然后你可以使用它们:

>>> x+y+x-y 2*x  >>> (x+y)**2 (x + y)**2  >>> ((x+y)**2).expand() x**2 + 2*x*y + y**2  

使用subs(old, new)用其它符号和数代换它们:

>>> ((x+y)**2).subs(x, 1) (y + 1)**2  >>> ((x+y)**2).subs(x, y) 4*y**2  

对于剩余的教程,我们假设我们已经运行了:

>>> import sys >>> oldhook = sys.displayhook >>> sys.displayhook = pprint  

这样就有漂亮的打印。参见之后的打印部分。如果你安装了unicode字体,你的输出可能看起来有点不同。(将看起来稍微好些)

代数

对部分分式分解,使用apart(expr, x)

>>> 1/((x+2)*(x+1))        1        ─────────────── (x + 1)⋅(x + 2) >>> apart(1/((x+2)*(x+1)), x)     1       1   - ───── + ─────   x + 2   x + 1 >>> (x+1)/(x-1) x + 1 ───── x - 1 >>> apart((x+1)/(x-1), x)       2   1 + ─────     x - 1  

把它们重新结合起来,使用together(expr, x)

>>> z = Symbol('z') >>> together(1/x + 1/y + 1/z) x⋅y + x⋅z + y⋅z ───────────────      x⋅y⋅z      >>> together(apart((x+1)/(x-1), x), x) x + 1 ───── x - 1 >>> together(apart(1/( (x+2)*(x+1) ), x), x)        1        ─────────────── (x + 1)⋅(x + 2)  

演算

极限

极限在sympy中使用很简单,它们的语法是limit(function, variable, point),所以计算当x趋近于0时f(x)的极限,你可以给出limit(f, x, 0)

>>> from sympy import * >>> x=Symbol("x") >>> limit(sin(x)/x, x, 0) 1  

你也可以计算在无穷的极限:

>>> limit(sin(x)/x,x,0) 1 >>> limit(x,x,oo) ∞ 对于一些不寻常的极限例子,你可以阅读这个测试文件[test_demidovich.py](https://github.com/sympy/sympy/blob/master/sympy/series/tests/test_demidovich.py)  

微分

你可以使用diff(func, var)微分任何SymPy表达式。例如:

>>> from sympy import * >>> x = Symbol('x') >>> diff(sin(x), x) cos(x) >>> diff(sin(2*x), x) 2⋅cos(2⋅x) >>> diff(tan(x), x)    2        tan (x) + 1  

你可以检查正确性:

>>> limit((tan(x+y)-tan(x))/y, y, 0)    2        tan (x) + 1  

高阶微分可以使用diff(func, var, n)来计算:

>>> diff(sin(2*x), x, 1) 2⋅cos(2⋅x) >>> diff(sin(2*x), x, 2) -4⋅sin(2⋅x) >>> diff(sin(2*x), x, 3) -8⋅cos(2⋅x)  

级数展开

使用.series(var, point, order):

>>> cos(x).series(x, 0, 10)      2    4     6      8                 x    x     x      x              1 - ── + ── - ─── + ───── + O(x**10)     2    24   720   40320  >>> (1/cos(x)).series(x, 0, 10)      2      4       6        8                x    5⋅x    61⋅x    277⋅x             1 + ── + ──── + ───── + ────── + O(x**10)     2     24     720     8064              

另一个简单的例子:

>>> from sympy import Integral, Symbol, pprint >>> x = Symbol('x') >>> y = Symbol('y') >>> e = 1/(x + y) >>> s = e.series(x, 0, 5) >>> print(s) 1/y - x/y**2 + x**2/y**3 - x**3/y**4 + x**4/y**5 + O(x**5) >>> pprint(s)           2    3    4           1   x    x    x    x            ─ - ── + ── - ── + ── + O(x**5) y    2    3    4    5               y    y    y    y            None  

求和

计算给定求和变量界限的f的总和(Summation)。2

summation(f, (i, a, b))变量i从a到b计算f的和,也就是,

                            b                           ____                           \   ` summation(f, (i, a, b)) =  )    f                           /___,                           i = a  

如果不能计算总和,它将打印相应的求和公式。求值可引入额外的极限计算:

>>> from sympy import summation, oo, symbols, log >>> i, n, m = symbols('i n m', integer=True) >>> summation(2*i - 1, (i, 1, n))  2 n  >>> summation(1/2**i, (i, 0, oo)) 2 >>> summation(1/log(n)**n, (n, 2, oo))   ∞             ___            \  `            \      -n      /   log  (n)  /__,          n = 2          >>> summation(i, (i, 0, n), (n, 0, m))  3    2     m    m    m ── + ── + ─ 6    2    3 >>> from sympy.abc import x >>> from sympy import factorial >>> summation(x**n/factorial(n), (n, 0, oo))  x ℯ   

积分

通过integrate()功能(facility),SymPy对基本和特殊函数定与不定积分有卓越的支持。 该功能使用有力的扩展Risch-Norman算法,启发算法和模式匹配:

>>> from sympy import integrate, erf, exp, sin, log, oo, pi, sinh, symbols >>> x, y = symbols('x,y')  

你可以对基本函数积分:

>>> integrate(6*x**5, x)  6 x  >>> integrate(sin(x), x) -cos(x) >>> integrate(log(x), x) x⋅log(x) - x >>> integrate(2*x + sinh(x), x)  2           x  + cosh(x)  

特殊函数也可以简单的处理:

>>> integrate(exp(-x**2)*erf(x), x)   ⎽⎽⎽    2    ╲╱ π ⋅erf (x) ─────────────       4        

还可以计算定积分:

>>> integrate(x**3, (x, -1, 1)) 0 >>> integrate(sin(x), (x, 0, pi/2)) 1 >>> integrate(cos(x), (x, -pi/2, pi/2)) 2  

反常积分也被支持:

>>> integrate(exp(-x), (x, 0, oo)) 1 >>> integrate(log(x), (x, 0, 1)) -1  

复数

除了复数单元I是虚数,符号可以被用属性创建(例如 real,positive,complex,等等)这将影响它们的表现:

>>> from sympy import Symbol, exp, I >>> x = Symbol('x')  # a plain x with no attributes >>> exp(I*x).expand()  ⅈ⋅x ℯ    >>> exp(I*x).expand(complex=True)    -im(x)               -im(x)            ⅈ⋅ℯ      ⋅sin(re(x)) + ℯ      ⋅cos(re(x)) >>> x = Symbol('x', real=True) >>> exp(I*x).expand(complex=True) ⅈ⋅sin(x) + cos(x)  

函数

三角函数:

>>> from sympy import asin, asinh, cos, sin, sinh, symbols, I >>> x, y = symbols('x,y') >>> sin(x+y).expand(trig=True) sin(x)⋅cos(y) + sin(y)⋅cos(x) >>> cos(x+y).expand(trig=True) -sin(x)⋅sin(y) + cos(x)⋅cos(y) >>> sin(I*x) ⅈ⋅sinh(x) >>> sinh(I*x) ⅈ⋅sin(x) >>> asinh(I) ⅈ⋅π ───  2  >>> asinh(I*x) ⅈ⋅asin(x) >>> sin(x).series(x, 0, 10)      3     5     7       9                  x     x     x       x               x - ── + ─── - ──── + ────── + O(x**10)     6    120   5040   362880            >>> sinh(x).series(x, 0, 10)      3     5     7       9                  x     x     x       x               x + ── + ─── + ──── + ────── + O(x**10)     6    120   5040   362880            >>> asin(x).series(x, 0, 10)      3      5      7       9                x    3⋅x    5⋅x    35⋅x             x + ── + ──── + ──── + ───── + O(x**10)     6     40    112     1152            >>> asinh(x).series(x, 0, 10)      3      5      7       9                x    3⋅x    5⋅x    35⋅x             x - ── + ──── - ──── + ───── + O(x**10)     6     40    112     1152      

球谐函数:

>>> from sympy import Ylm >>> from sympy.abc import theta, phi >>> Ylm(1, 0, theta, phi)   ⎽⎽⎽        ╲╱ 3 ⋅cos(θ) ────────────       ⎽⎽⎽      2⋅╲╱ π     >>> Ylm(1, 1, theta, phi)    ⎽⎽⎽  ⅈ⋅φ        -╲╱ 6 ⋅ℯ   ⋅sin(θ) ──────────────────          ⎽⎽⎽            4⋅╲╱ π        >>> Ylm(2, 1, theta, phi)    ⎽⎽⎽⎽  ⅈ⋅φ               -╲╱ 30 ⋅ℯ   ⋅sin(θ)⋅cos(θ) ──────────────────────────              ⎽⎽⎽                    4⋅╲╱ π         

阶乘和伽马函数:

>>> from sympy import factorial, gamma, Symbol >>> x = Symbol("x") >>> n = Symbol("n", integer=True) >>> factorial(x) x! >>> factorial(n) n! >>> gamma(x + 1).series(x, 0, 3) # i.e. factorial(x)                     2  2             2  2                              π ⋅x    EulerGamma ⋅x            1 - EulerGamma⋅x + ───── + ────────────── + O(x**3)                      12          2       

zeta函数:

>>> from sympy import zeta >>> zeta(4, x) ζ(4, x) >>> zeta(4, 1)  4 π  ── 90 >>> zeta(4, 2)       4      π  -1 + ──      90 >>> zeta(4, 3)         4   17   π  - ── + ──   16   90  

多项式:

>>> from sympy import assoc_legendre, chebyshevt, legendre, hermite >>> chebyshevt(2, x)    2     2⋅x  - 1 >>> chebyshevt(4, x)    4      2     8⋅x  - 8⋅x  + 1 >>> legendre(2, x)    2     3⋅x    1 ──── - ─  2     2 >>> legendre(8, x)       8         6         4        2       6435⋅x    3003⋅x    3465⋅x    315⋅x     35 ─────── - ─────── + ─────── - ────── + ───   128        32        64       32     128 >>> assoc_legendre(2, 1, x)         ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽        ╱    2      -3⋅x⋅╲╱  - x  + 1  >>> assoc_legendre(2, 2, x)      2     - 3⋅x  + 3 >>> hermite(3, x)    3        8⋅x  - 12⋅x  

微分方程

在 isympy中:

>>> from sympy import Function, Symbol, dsolve >>> f = Function('f') >>> x = Symbol('x') >>> f(x).diff(x, x) + f(x)          2               d        f(x) + ───(f(x))          2              dx        >>> dsolve(f(x).diff(x, x) + f(x), f(x)) f(x) = C₁⋅cos(x) + C₂⋅sin(x)  

代数方程

在isympy中:

>>> from sympy import solve, symbols >>> x, y = symbols('x,y') >>> solve(x**4 - 1, x) [1, -1, -ⅈ, ⅈ] >>> solve([x + 5*y - 2, -3*x + 6*y - 15], [x, y]) {x: -3, y: 1}  

线性代数

矩阵

矩阵从Matrix类创建:

>>> from sympy import Matrix, Symbol >>> Matrix([[1,0], [0,1]]) ⎡1  0⎤ ⎢    ⎥ ⎣0  1⎦  

它可以包含符号:

>>> x = Symbol('x') >>> y = Symbol('y') >>> A = Matrix([[1,x], [y,1]]) >>> A ⎡1  x⎤ ⎢    ⎥ ⎣y  1⎦ >>> A**2 ⎡x⋅y + 1    2⋅x  ⎤ ⎢                ⎥ ⎣  2⋅y    x⋅y + 1⎦  

更多有关矩阵信息,参见线性代数教程。

模式匹配

使用.match()方法,和Wild类对表达式实行模式匹配。这个方法将返回一个发生替换的字典,如下:

>>> from sympy import Symbol, Wild >>> x = Symbol('x') >>> p = Wild('p') >>> (5*x**2).match(p*x**2) {p: 5} >>> q = Wild('q') >>> (x**2).match(p*x**q) {p: 1, q: 2}  

如果匹配失败,将返回None

>>> print (x+1).match(p**x) None  

可以指定Wild类的排除参数去保证一些东西不出现在结果之中:

>>> p = Wild('p', exclude=[1,x]) >>> print (x+1).match(x+p) # 1 is excluded None >>> print (x+1).match(p+1) # x is excluded None >>> print (x+1).match(x+2+p) # -1 is not excluded {p_: -1}  

打印

这里有许多打印表达式的方法:

标准

这就是str(expression)返回的,看起来想这样:

>>> from sympy import Integral >>> from sympy.abc import x >>> print x**2 x**2 >>> print 1/x 1/x >>> print Integral(x**2, x) Integral(x**2, x)  

漂亮的打印

pprint函数产生好看的ascii艺术打印:

>>> from sympy import Integral, pprint >>> from sympy.abc import x >>> pprint(x**2)  2 x  None >>> pprint(1/x) 1 ─ x None >>> pprint(Integral(x**2, x)) ⌠       ⎮  2    ⎮ x  dx ⌡       None  

如果你安装了unicode字体,pprint函数将默认使用它。你可以使用use_unicode函数改变这个选项。:

>>> pprint(Integral(x**2, x), use_unicode=False)   /       |        |  2     | x  dx  |       /        None  

更多好看的unicode打印另见维基Pretty Printing

小技巧:在Python解释器中默认使用漂亮的打印,使用:

$ python Python 2.5.2 (r252:60911, Jun 25 2008, 17:58:32) [GCC 4.3.1] on linux2 Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information. >>> from sympy import init_printing, var, Integral >>> init_printing(use_unicode=False, wrap_line=False, no_global=True) >>> var("x") x >>> x**3/3  3 x -- 3 >>> Integral(x**2, x) #doctest: +NORMALIZE_WHITESPACE   /  |  |  2  | x  dx  | /  

Python打印

>>> from sympy.printing.python import python >>> from sympy import Integral >>> from sympy.abc import x >>> print python(x**2) x = Symbol('x') e = x**2 >>> print python(1/x) x = Symbol('x') e = 1/x >>> print python(Integral(x**2, x)) x = Symbol('x') e = Integral(x**2, x)  

LaTeX打印

>>> from sympy import Integral, latex >>> from sympy.abc import x >>> latex(x**2) x^{2} >>> latex(x**2, mode='inline') $x^{2}$ >>> latex(x**2, mode='equation') \begin{equation}x^{2}\end{equation} >>> latex(x**2, mode='equation*') \begin{equation*}x^{2}\end{equation*} >>> latex(1/x) \frac{1}{x} >>> latex(Integral(x**2, x)) \int x^{2}\,dx  

MathML

>>> from sympy.printing.mathml import mathml >>> from sympy import Integral, latex >>> from sympy.abc import x >>> print mathml(x**2) <apply><power/><ci>x</ci><cn>2</cn></apply> >>> print mathml(1/x) <apply><power/><ci>x</ci><cn>-1</cn></apply>  

Pylet

>>> from sympy import Integral, preview >>> from sympy.abc import x >>> preview(Integral(x**2, x)) This is pdfTeX, Version 3.1415926-2.4-1.40.13 (TeX Live 2012/Arch Linux)  restricted \write18 enabled. entering extended mode (/tmp/tmpGYREx_.tex LaTeX2e <2011/06/27> Babel <v3.8m> and hyphenation patterns for english, dumylang, nohyphenation, ge rman-x-2012-05-30, ngerman-x-2012-05-30, afrikaans, ancientgreek, ibycus, arabi c, armenian, basque, bulgarian, catalan, pinyin, coptic, croatian, czech, danis h, dutch, ukenglish, usenglishmax, esperanto, estonian, ethiopic, farsi, finnis h, french, friulan, galician, german, ngerman, swissgerman, monogreek, greek, h ungarian, icelandic, assamese, bengali, gujarati, hindi, kannada, malayalam, ma rathi, oriya, panjabi, tamil, telugu, indonesian, interlingua, irish, italian,  kurmanji, latin, latvian, lithuanian, mongolian, mongolianlmc, bokmal, nynorsk,  polish, portuguese, romanian, romansh, russian, sanskrit, serbian, serbianc, s lovak, slovenian, spanish, swedish, turkish, turkmen, ukrainian, uppersorbian,  welsh, loaded. (/usr/share/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class (/usr/share/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo)) (/usr/share/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty For additional information on amsmath, use the `?' option. (/usr/share/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty (/usr/share/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty)) (/usr/share/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty) (/usr/share/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty)) (/usr/share/texmf-dist/tex/latex/eulervm/eulervm.sty) No file tmpGYREx_.aux. (/usr/share/texmf-dist/tex/latex/eulervm/uzeur.fd) (/usr/share/texmf-dist/tex/latex/eulervm/uzeus.fd) (/usr/share/texmf-dist/tex/latex/eulervm/uzeuex.fd) [1] (./tmpGYREx_.aux) ) Output written on tmpGYREx_.dvi (1 page, 320 bytes). Transcript written on tmpGYREx_.log. This is dvipng 1.14 Copyright 2002-2010 Jan-Ake Larsson [1]   

如果pyglet被安装了,一个包含LaTeX渲染后表达式的pyglet窗口将被打开:

pyglet

注意

isympy自动调用pprint,这就是为什么默认情况下你看到的是漂亮的打印。

注意有一个可用的打印模块sympy.printing。其它通过这个模块的打印方法是:

  • pretty(expr),pretty_print(expr),pprint(expr):分别漂亮的表示expr.这是和之前描述的第二层表示是一样的。
  • latex(expr), print_latex(expr):分别返回和打印exprLaTeX表示。
  • mathml(expr),print_mathml(expr):分别返回和打印exprMathML表示。
  • print_gtk(expr):在Gtkmathview打印expr,这是一个呈现MathML代码的GTK部件。Gtkmathview要求安装。

更多文档

现在该学更多有关SymPy的知识了。浏览SymPy用户指南SymPy模块参考

一定也浏览我们的公共wiki.sympy.org,那里包含了很多我们和我们的用户贡献的示例,教程,cookbook,请自由地编辑它。

翻译

这个教程还有其它语言:

德语


FootNotes

  1. 不介意非稳定版我觉得git更方便一些,当然linux包管理器更方便,所以先用你的包管理器安装它。 

  2. Compute the summation of f with respect to the given summation variable over the given limits. 

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